くいずの時間

前提


将棋盤(9×9のマス目を持つ盤)を使って二人が陣取りゲームをする。 自分の番になったとき、 空いているマス目（自分の陣地でも相手の陣地でもないマス目）の中からいくつか選んで「自分の陣地」にすることができる。 一度に自分の陣地にできるのは、 「1個」か「隣り合った2個」のいずれかである。 隣り合った2個は縦の2個でも横の2個でもよい。 パスはできない。 自分の番になったとき空いているマス目がひとつもなかったら負け。


問題


この陣取りゲームは、以下のうちどれか。


(A)先手必勝　(B)先手必敗　(C)いずれでもない

まず、単純に小さい数で考える。
１ｘ１先手勝ち。

○

勝つには、相手がおいた次の時点で、自分の置ける場所が存在してることが保証されてなければダメだから...単純に考えると、相手の場所に対応する場所（どちらの陣地にも属していないと保証されている）が必要。
２ｘ２後手勝ち。

○	×
○	×

３ｘ３・・・どっちかなぁ。
２ｘ２の時には、後手が、先手にとって１８０回転させた形に配置すればいいっておもった。先手がおいた手に対して、１８０度回転させたところには必ず空白があるはずだから。（２ｘ２の場合ね）
３ｘ３の場合はどうだろ・・・。
ああ

	○

こうすればいいんだ。
先手が、真ん中に置けば、後は後手のおいた手に対応する180度回転させた箇所において行けば、勝てることが分かる。
んんー、ってことは、クイズの答えとしては、
(A)先手必勝
かな。先手が、ど真ん中に陣地作って、あとは、相手のとった陣地に対して、180度回転させた箇所に陣地を張れば勝てる。
ｍｘｍの場合。
ｍが奇数なら、先手必勝。ｍが偶数なら、後手必勝ということかな。


ｍｘｎの場合を考えたとして、
１ｘｎなら、先手必勝。一行のヤツを、１８０度回転して対応できるマスができるようにわってやればいいわけだから。
２ｘｎだと。
ｎが奇数のとき先手。偶数だと後手か。
３ｘｎだと。
先手全勝かなぁ。


つまり、

m×nのマス目を持つ盤での必勝パターンは、
m または n が奇数のとき先手必勝
m かつ n が偶数の時には、後手必勝

必勝パターンは、相手の手に対して、自分の手を１８０度回転させたところにおけるかどうか。ってことだから。うんうん。mかnに奇数が入った場合は、回転させる前と後の位置に同時における陣地が存在してるわけね。ソコに先手が入れば必勝というわけか。